LA REGLA DE TRES SIMPLE
En ella se establece una relación de proporcionalidad, entre los valores involucrados.La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también existe la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta. Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor Y
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa. Será directa cuando a un mayor valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa cuando a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad , por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad. Para que esta proporcionalidad se cumpla se tiene que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Se puede representar de la forma:
Ejemplo
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
En la relación entre los valores se cumple que:
Donde e es un producto constante. Para que esta constante se conserve, un aumento de A necesitará una disminución de B, para que su producto permanezca constante. Esta relación puede representarse de la forma:
y se dice que A es a B inversamente proporcional, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro.
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?
En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de proporcionalidad inversa.
100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas y trabajadores.
La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes).
Formalmente el problema se plantea así:
La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve así:
A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:
A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir, añadiendo el término C una sola vez): lo que nos da la solución buscada.
El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples.
El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples.
EJERCICIOS
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito
7 l/min
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Si un tren tarda 3 horas en recorrer 400 kilómetros, ¿cuánto
tardará en recorrer el doble?
Primero observamos que es un caso de proporción directa ya que a más horas más kilómetros recorrerán el tren. La respuesta se puede deducir mentalmente, puesto que si el tren tiene que recorrer el doble de distancia también tardará el doble de tiempo, con lo que necesitará h para recorrer los km.
La deducción es correcta, pero veamos cómo se resuelve aplicando la regla de tres para proporciones directas.
Donde las dos magnitudes del ejercicio quedan efracciones,distintas: el tiempo a un lado de la igualdad y la distancia al otro,ahora sólo hay que despejar para hallar la solución:
Por lo tanto el tren tardará horas en recorrer 8000 km.
PROPORCIÓN INVERSA
Diremos que la proporción es inversa si implica una relación de magnitudes en que al aumentar una la otra disminuye y viceversa. En este caso la regla de tres se aplicará de la siguiente manera:
Si 2 agricultores tardan 10 días en arar un campo, ¿cuánto tardarán 5 agricultores en realizar el mismo trabajo?
Se trata claramente de un ejemplo de proporción inversa, puesto que a más agricultores trabajando menos tiempo se tardará en arar el mismo campo
Es decir, mientras que dos agricultores tardan 10días, con la ayuda de otros 3compañeros consiguen hacer el mismo trabajo en tan solo 4 días.
Si con 70 Kg tenemos para alimentar a 25 gallinas durante 30 días. Si se mueren 15 gallinas ¿para cuántos días habrá comida suficiente?
Se trata de una regla de tres inversa porque a menos gallinas corresponden más días para los que habrá comida.
Si se mueren 15 gallinas nos quedan 10.
Habrá comida para 75 días.
Para sacar el agua de una piscina de plástico se necesita realizar 210 extracciones con un cubo de 12 litros de capacidad. Si el cubo es de 20 litros, ¿cuántas extracciones necesitaremos para sacar toda el agua de la piscina?
Se trata de una regla de tres inversa porque a más capacidad del cubo corresponden menos extracciones.
Se necesitarán 126 extracciones.
vaya,
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